By Robin Chapman

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3 Summen von Vektorr¨ aumen 49 Frage 122 Seien U, W ⊂ V Unterr¨aume eines K-Vektorraums V . Unter welcher Bedingung ist auch U ∪ W ein Unterraum von V ? Antwort: Bez¨ uglich der Vereinigung von Unterr¨ aumen gilt: U ∪W ist genau dann ein Unterraum, wenn U ⊂ W oder W ⊂ U gilt. Hier ist die R¨ uckrichtung“ der ” ¨ Aquivalenz oﬀensichtlich, da U ∪ W in diesem Fall einem der beiden Unterr¨ aume U oder W entspricht. Gilt umgekehrt U ⊂ W und W ⊂ U , dann w¨ ahle man Vektoren u ∈ U \ W und w ∈ W \ U .

Xn ) ∈ K n auf den Vektor n n a1j xj , . . , j=1 αmj xj j=1 abbildet, ist eine K-lineare Abbildung. (h) F¨ ur ein Intervall [a, b] bezeichne C ([a, b]) den R-Vektorraum der stetigen Funktionen und C 1 ([a, b]) der stetig diﬀerenzierbaren Funktionen auf [a, b]. Dann sind die Abbildungen x int : C ([a, b]) −→ C 1 ([a, b]), f −→ F mit F (x) = f (t) dt, a diﬀ : C 1 ([a, b]) −→ C ([a, b]), f −→ f ′ R-lineare Abbildungen zwischen unendlich-dimensionalen Vektorr¨aumen. Frage 131 Ist die Abbildung F : R2 −→ R mit F (x1 , x2 ) = x1 − x2 linear?

Frage 137 K¨ onnen Sie zur linearen Abbildung F : R2 −→ R, (x1 , x2 )T −→ x1 − x2 den Kern und das Bild angeben? Antwort: Wegen F (x1 , x2 )T = 0 ⇐⇒ (x1 − x2 ) = 0 ⇐⇒ x1 = x2 folgt ker F = {(x1 , x2 )T ∈ R2 ; x1 = x2 } = R · (1, 1)T . Zu jedem a ∈ R gibt es mit (a, 0) zumindest ein Urbild unter F (es gibt nat¨ urlich noch viel mehr). Daher ist im F = R. Frage 138 Wie l¨asst sich die Surjektivit¨at bzw. Injektivit¨at einer linearen Abbildung F : V −→ W mittels der Eigenschaften von im F bzw. ker F charakterisieren?