By Jan Draisma

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Extra info for Algebraische Gruppen

Example text

Um die Algebrastruktur auf L einzuf¨ uhren, ¨ brauchen wir Derivationen. 45. Sei A eine Algebra. Eine lineare Abbildung D : A → A heisst Derivation von A in A (oder kurz: Derivation auf A) falls D(ab) = (Da)b + aD(b). Wir schreiben Der(A) f¨ ur die Menge aller Derivationen von A. Es folgt sofort, dass eine Derivation D von A eindeutig festgelegt ist sobald D auf Erzeugern von A festgelegt ist. Zum Beispiel gilt ∂ | f1 , . . , fn ∈ K[x1 , . . , xn ]}, Der(K[x1 , . . , xn ]) = { fi ∂x i i wo ∂ ∂xi die offensichtliche Bedeutung hat.

Fk Erzeuger vom Ideal I(H), und bilde einen ρ(G)stabilen, endlich-dimensionalen Unterraum V von O(G), der f1 , . . , fk enth¨alt (die gibt es nach einem fr¨ uheren Satz). Sei φ : G → GL(V ) die Abbildung φ (g) = ρ(g)|V . Dann ist φ eine rationale Darstellung (nach dem gleichen Satz). Sei nun E := V ∩ I(H). Der Raum E ist H-stabil da V und I(H) es sind. Sei umgekehrt g ∈ G mit φ (g)E ⊆ E . Dann bildet ρ(g) die Erzeuger f1 , . . , fk ∈ E in I(H) ab, und es folgt ρ(g)I(H) ⊆ I(H)—also g ∈ H.

Betrachte dazu 46 7. DIE LIE-ALGEBRA EINER ALGEBRAISCHEN GRUPPE folgendes Diagramm: ˜˜ e G, lg0 β ρ˜g0  ˜ g0 G, /W ˜ , v0 β  / W, β(g0 ). Hier ist lg0 die Linksmultiplikation g → g0 g und ρ˜g0 die ‘Operation’ von g0 auf W : g0 w ρ˜g0 w = , w∈W ξ(g0 w) ˜ von W , wo der Nenner ungleich definiert auf der speziellen offenenen Teilmenge W ˜ ˜ ˜ gegeben durch: 0 ist. Weiter ist G die spezielle offene Teilmenge von G ˜˜ := l−1 (G) ˜ ∩ β −1 (W ˜ ), G g0 so dass alles oben definiert ist. Verifiziere, dass oben stehendes Diagramm kommutiert.