By Laurent Berger

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On ⊕m i=1 A/di A dit parfois abusivement que n est le rang de M . Si M est sans torsion, alors M An et donc sur un anneau principal, les modules sans torsion et de type fini sont n´ecessairement libres. 2. — Si A est un anneau principal, et si d1 , . . , dm et e1 , . . , en sont des ´el´ements non nuls de A \ A× tels que d1 | · · · | dm et e1 | · · · | en et ⊕m i=1 A/di A ⊕nj=1 A/ej A, alors m = n et (di ) = (ei ) pour tout i. D´emonstration. — Comme A est un anneau principal, les ´el´ements premiers co¨ıncident avec les ´el´ements irr´eductibles, et de plus si p est premier, alors l’id´eal (p) est maximal et donc A/pA est un corps.

Si P (a) = 0, alors P (X) = (X − a)Q(X) avec deg(Q) = deg(P ) − 1 et si P (b) = 0, alors (b − a)Q(b) = 0 ce qui fait que, comme A est int`egre, soit a = b soit Q(b) = 0. Ceci permet de d´emontrer la proposition par r´ecurrence sur le degr´e de P . 1 n’est pas n´ecessairement vraie. Par exemple, dans A = Z/8Z, le polynˆome P (X) = X 2 − 1 a pour racines X = 1, 3, 5 et 7. 2. — Si A est un anneau int`egre, alors A[X] est int`egre. D´emonstration. — Si P (X) = p0 + p1 X + · · · + pm X m et Q(X) = q0 + q1 X + · · · + qn X n sont deux polynˆomes avec pm = 0 et qn = 0, alors le coefficient dominant de P Q est pm qn = 0 ce qui fait que P Q = 0.

Mr mr mr  est nul, ce qui fait que det(X · Id −P )mi = 0 pour tout i et donc que ΠP (f ) = 0 sur M. 2. Diviseurs ´ el´ ementaires pour un anneau principal Il n’est pas vrai, en g´en´eral, qu’un sous-module d’un module libre est lui-mˆeme libre (par exemple (X, Y ) ⊂ K[X, Y ]) mais sur un anneau principal, c’est vrai. 1. — Si A est un anneau principal, si M est un A-module libre de rang r et si N est un sous-A-module de M , alors N est libre de rang ≤ r. D´emonstration. — Soit {mi } une base de M et Ni = N ∩ (m1 , .

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