By N. Bourbaki

Ce dixiÃ¨me chapitre du Livre d AlgÃ¨bre, deuxiÃ¨me Livre du traitÃ©, pose les bases du calcul homologique.

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En effet, d'après les suites exactes (1,) à (IV,) du no 1, Z(C) est alors facteur direct dans C et B(C) facteur direct de Z(C) (resp. B(C) est facteur direct dans C et Z(C)/B(C) facteur direct dans CIB(C)). 5) En particulier, si A est principal, un complexe libre C est scindé si et seulement si H(C) est libre (c'est-à-dire H,(C) libre pour tout n E Z). Remarque. - a) Supposons que la suite exacte canonique de A-modules gradués soit scindée (cela a lieu par exemple si H(C) est projectif, ou R,(C) injectif pour chaque n) ; soit o : H(C) + Z(C) une section A-linéaire graduée de TC,et soit \$ I'homomorphisme x H o(x) de H(C) dans C.

4). D'après loc. , prop. 2, les suites (5) O - Z,(C1) ---, Z,(C) =Z,(CU) où in et ün sont déduits de u et L), sont exactes. Utilisant les suites exactes canoniques (V,), on obtient un diagramme commutatif à lignes et colonnes exactes L'homomorphisme Hn(Cr')4 Hn- ,(Cl) associé à ce diagramme (loc. , prop. 2, (iii)) coïncide par construction avec dn(u,v). Cela entraîne en outre que la suite d'homomorphismes (Hn(u), H,(v), &(u, v), Hn-,(u), Hn-,(v)) est exacte; par conséquent : - THÉORÈME1 . - La suite illimitée d'homomorphismes de A-modules ...

1. = 0. PROPOSITION 10. - Soient C et C f deux compkses bornés de type %'. S'il esiste url homologisme u : C' -, C , on a x(C) = x(C1). , En effet, Con (u) est borné de type % et on a ( u ) ) = x ( C ) - x(C') ; d'autre part, H(Con (u)) = O d'après X, p. , donc (u)) = O (lemme 4). con con PROPOSITION11. - Soit C un complexe borné de type W. a) S i %' est stable, H ( C ) est de type 59. b ) S i H ( C ) est de type W,il en est de même de B(C) et de Z ( C ) , et on a x(H(C)) = x(C). a) Si V est stable, pour tout n le module Z,(C) est de type V comme noyau de d, : C, -+ C,-,, et H,(C) est de type %?