By N. Bourbaki

Algèbre commutative, Chapitre 10

Profondeur, régularité, dualité

Les Éléments de mathématique de Nicolas BOURBAKI ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce quantity du Livre d’Algèbre commutative, septième Livre du traité, est los angeles continuation des chapitres antérieurs. Il introduit notamment les notions de profondeur et de lissité, fondamentales en géometrie algébrique. Il se termine par l’introduction des modules dualisants et de los angeles dualité de Grothendieck.

Ce quantity est paru en 1998.

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Example text

Iutes: (i) ,4 est, régulier ; (ii) Ir A-inodulc K A est (le diincnsion projcctivt: fiiiic ; (iii) tout A-rilodiile (Ir type fini est dc chxmsiori proj&ivc < +xi. I ~ Soit J~N A a m r ~ north6ricn. projec2i1)e < toc ; (iii) ~ O , I L tout T i d é d rrrmirnod m de A , lu dirnensiori p,rojectiar de A/m est ,finie ; (iv) pour tout id&l pmm,ier p de A , l'anncuu locnl Al, cst r c j / ~ l i c r . - Soit p iin idPa1 premier (le A si le A-niodille A/p est de dimcslsion projrctivc finie, il en est de ir16irie di1 Ap-moditle ~ ( p d'après ) le cor.

Pour un tcl idCa1 q , on a S c B q , tlonc eri s'itleritifie A R,/pRq , c'est-;,-dire encore à ~ ( p@,), Bq . riricn,i~ local (le n n - qn De rriêsne, si N est lin B-niocliile, le BqE-rnodillc ( ~ ( p@A ) N) - s'iclcritifie A. 4n ~ ( p@,y ) N,. s lc 2. N, = O . rim, la. i~t le support du B-rnodille ~ ( p @) A -\T est forrni. 11~ prerriiers (le SuppB(N) au-dessus de p. Eri particillicr, pour que le rraohrle et il s l ~ ~ f(/IL'%(! ier de SuppB(N) ~ ( p@) A N soit non. m l , ilfi~,,l~,t au-dessus dc p .

3) ; s'il est inacaulayeii, il résulte de la prop. cmlayeri. - Soi1 p : A i B un J ~ , o ~ n i r o r p ~ id'nnn,eo,162 sonl, Mq~uivule~r~,te~s : faisant dc B u,n A-rrrodude plal. s (i) B est rrri ciwrrean da Moco,vlay ; (ii) pour tout idéal premier. q de B , les an,n,cac~zA , , i ( q , et ~ ( p ~( q-) ') @AB sonl, de Macaulay ; (iii) potrr tout idc'al n~arirr~al n dc B , lcs arareeuvrs A,, 1 (,,) e l ~ ( p - '(n)) @A B sont de n/ln,carrlq. Si de pl'i~sB est fidblcm,cn,t plal sur A , ces conditsorrs ~rrtrafnentque A est wrc arareeuv de Macaulm~.

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