By Jean-Robert Belliard

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2. (λx1 + µx1 ) ∧ · · · ∧ xn−1 = λ (x1 ∧ · · · ∧ xn−1 ) + µ (x1 ∧ · · · ∧ xn−1 ). 3. x1 ∧ · · · ∧ xn−1 = 0 si et seulement si les xi sont liés. Démonstration. Ces propriétés sont des conséquences de l’unicité du produit vectoriel et des propriétés analogues du déterminant. 4. Chapitre 5 Formes quadratiques et hermitiennes. 1 Généralités sur les formes sesquilinéaires. Soit k un corps et soit σ un automorphisme de k. On note σ(x) = xσ . 1 Soit E un k-espace vectoriel. Une application f : E × E −→ k, est appelée forme sesquilinéaire ou s’il faut préciser forme σ-sesquilinéaire lorsque 1.

3 1. Un vecteur isotrope x de E est un vecteur non nul vérifiant f (x, x) = 0, c’està-dire tel que x ∈ {x}⊥ . 2. Un sous-espace isotrope V de E est un sous-espace tel que V ∩ V ⊥ = {0}. 3. Un sous-espace totalement isotrope est un sous-espace vérifiant V ⊂ V ⊥ . Remarques : L’ensemble des vecteurs isotropes s’appelle le cône isotrope de f , parce que c’est une partie de E stable par homothéties. En général ce n’est pas un sous-espace vectoriel. 4 Soit f une forme sesquilinéaire non dégénérée réflexive et hermitienne si σ = Id.

Alors la matrice de f relativement à cette nouvelle base est t P M P σ dont le déterminant est det(t P M P σ ) = det(M )(det(P )1+σ ). Cela montre que l’élément det(M )(k × )1+σ ∈ {0} ∪ k × /(k × )1+σ est un invariant de la forme f elle-même. 3 Le discriminant de f est la classe det(M )(k × )1+σ dans le quotient k/(k × )1+σ := {0} ∪ k × /(k × )1+σ . 4 Une forme sesquilinéaire est réflexive lorsque ∀x, y ∈ E, f (x, y) = 0 ⇐⇒ f (y, x) = 0. 5 Une forme bilinéaire f : E × E −→ k est dite symétrique lorsque ∀x, y ∈ E, f (x, y) = f (y, x).

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