By Uwe Storch, Hartmut Wiebe

Das Buch ist als Ergänzung zu und zum Gebrauch neben einer Vorlesung über Lineare Algebra gedacht. Es ist hervorgegangen aus Übungen zu entsprechenden Vorlesungen für Mathematiker, Physiker und Informatiker und enthält Aufgaben verschiedener Schwierigkeitsgrade mit ausführlichen Lösungen. Es wird vorausgesetzt, dass der Leser die grundlegenden Begriffe und Aussagen aus der Linearen Algebra bereits gehört oder sich anderweitig – etwa im Selbststudium – angeeignet hat.

Als foundation – auch für das Zitieren von Standardergebnissen – wird der zweite Band des Lehrbuchs der Mathematik von U. Storch und H. Wiebe zu Grunde gelegt, der ebenfalls im Verlag Springer Spektrum erschienen ist und dem ein Großteil der hier behandelten Aufgaben entnommen ist. Etliche der Aufgaben sind aber auch neu. Um den Leser zur Mitarbeit anzuregen, sind einige Aufgaben ohne Lösungen gelassen. Die Ergebnisse werden dann genannt. Darüber hinaus werden immer wieder Bemerkungen eingefügt, die die Resultate illustrieren, ergänzen und interessant machen.

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7. h. 1 = 15−2 ·7 = 2 ·35−4 ·21+15. 20 gleich 2 · 2 · 35 − 3 · 4 · 21 + 2 · 15 = −82 = 23. Alle Zahlen a mit der geforderten Eigenschaft sind also die Zahlen der Form a = 23 + 105 · k, k ∈ N. D, Aufg. 24 in LdM 1 bekommen, indem man 35, 21, 15 durch 5 = 35 − 2 · 15, 6 = 21 − 15, 15 ersetzt hätte. Damit ergibt sich sofort 1 = 6 − 5 = 21 − 15 − (35 − 2 · 15) = −35 + 21 + 15. Das Urbild von (2, 3, 2) ∈ Z/Z35× Z/Z21× Z/Z15 in Z/Z105 ist so wieder −2 · 35 + 3 · 21 + 2 · 15 = 23. A, Aufg. ) Lösung Der kleine Fermatsche Satz liefert a ϕ(b) ≡ 1 mod b , vgl.

Das Schlangenlemma liefert wieder die exakten Sequenzen δ Kern h1 −→ Kokern h3 −→ Kokern h2 . Kokern h4 −→ Kokern h3 −→ Kokern h3 ; In der zweiten Sequenz gilt Kern h1 = 0 wegen der Injektivität von h1 und Kokern h2 = 0 wegen der Surjektivität von h2 . Da die Sequenz exakt ist, muss auch Kokern h3 gleich 0 sein. In der ersten Sequenz ist außerdem Kokern h4 gleich 0, da h4 surjektiv ist. Wegen der Exaktheit folgt Kokern h3 = 0 und damit die Surjektivität von h3 . C, Aufg. 3) ( E u l e r - P o i n c a r é - C h a r a k t e r i s t i k ) Sei fn+1 fn fn−1 f1 f2 f0 V• : 0 −→ Vn −→Vn−1 −→ · · · −→ V1 −→ V0 −→ 0 ein Komplex endlichdimensionaler K-Vektorräume.

6), so induziert die kano✲ ∼ − − − − − − V . Insbesondere bilden die Elemente nische Projektion K I → V einen Isomorphismus W − von W ein vollständiges Repräsentantensystem für die Restklassen von K I bzgl. K (I ) . Bemerkung Nach einem Vorschlag von B. Kaup lässt sich diese Aufgabe folgendermaßen illustrieren: I sei eine Menge von "Personen", die alle ein und dasselbe Komplement W von K (I ) in K I kennen. Jeder Person i ∈ I ist ein Element ai ∈ K in der Weise zugeordnet, dass sie selbst es nicht erkennt.

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