By Grassman

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Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics: Representations of Affine and Quantum Affine Algebras and Their Applications, North ... May 21-24, 1998

This quantity displays the complaints of the overseas convention on Representations of Affine and Quantum Affine Algebras and Their purposes held at North Carolina kingdom college (Raleigh). in recent times, the idea of affine and quantum affine Lie algebras has develop into a major region of mathematical study with a variety of functions in different parts of arithmetic and physics.

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3 (Euler) Wenn ggT (a, p) = 1, p = 2 ist, so gilt a p ≡ a(p−1)/2 (mod p). Beweis: Sei Z/pZ = g . Es sei g s ≡ −1. Dann ist g 2s = 1, also ist 2s ein Vielfaches von p − 1, denn ord(g) = p − 1. Also sind f¨ ur s nur die Werte 0, (p − 1)/2, p − 1 m¨oglich. s Im ersten und dritten Fall ist aber g = +1, also folgt g (p−1)/2 ≡ −1. Sei nun a = g t , dann ist a(p−1)/2 = g t(p−1)/2 ≡ (−1)t , also ist a genau dann quadratischer Rest, wenn t gerade ist, und genau dann gilt a(p−1)/2 ≡ 1. 4 Seien p, q ungerade Primzahlen, dann gilt p q = p−1 q−1 q (−1) 2 2 .

Beweis: Wir teilen f (x) durch x − a: f (x) = q(x) · (x − a) + r, der Grad von r ist kleiner als 1, also ist r eine Konstante. Wir setzen x = a ein und finden f (a) = r, also ist r = 0. Das heißt, f (x) ist durch x − a teilbar. 3 Ein Polynom f (x) besitzt genau dann eine mehrfache Nullstelle r, wenn f (r) = 0 ist. ¨ 5 POLYNOME UND TRANSZENDENTE KORPERERWEITERUNGEN 37 Beweis: Sei f (x) = (x − r)k · g(x), k > 1. Dann ist f (x) = k · (x − r)k−1 · g(x) + (x − 1)k · g (x), also ist r eine gemeinsame Nullstelle von f unf f .

9 PRIMZAHLTEST UND FAKTORISIERUNG GANZER ZAHLEN 58 Lehmer hat 1909 eine Tabelle aller Primzahlen unter 10 Millionen als Buch ver¨offentlich, und in einem zweiten Buch sind die kleinsten Primteiler aller Zahlen unter 10 Millionen enthalten, die nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind. Damit ist eine vollst¨andige Faktorisierung dieser Zahlen m¨oglich. Man sollte aber bedenken, daß ein Computer eine solche Zahl schneller zerlegen kann, als man in einer Tabelle nachschlagen kann. F¨ ur ein Sieb-Programm braucht man nicht viel Speicherplatz: man repr¨asentiert jede Zahl durch ein Bit (die i-te Zahl durch das i-te Bit), setzt alle Bits auf 0, geht f¨ ur alle relevanten Primzahlen p in per Schritten u ¨ber die Bits und setzt Einsen.

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