By Grassman

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Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics: Representations of Affine and Quantum Affine Algebras and Their Applications, North ... May 21-24, 1998

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3 (Euler) Wenn ggT (a, p) = 1, p = 2 ist, so gilt a p ≡ a(p−1)/2 (mod p). Beweis: Sei Z/pZ = g . Es sei g s ≡ −1. Dann ist g 2s = 1, also ist 2s ein Vielfaches von p − 1, denn ord(g) = p − 1. Also sind f¨ ur s nur die Werte 0, (p − 1)/2, p − 1 m¨oglich. s Im ersten und dritten Fall ist aber g = +1, also folgt g (p−1)/2 ≡ −1. Sei nun a = g t , dann ist a(p−1)/2 = g t(p−1)/2 ≡ (−1)t , also ist a genau dann quadratischer Rest, wenn t gerade ist, und genau dann gilt a(p−1)/2 ≡ 1. 4 Seien p, q ungerade Primzahlen, dann gilt p q = p−1 q−1 q (−1) 2 2 .

Beweis: Wir teilen f (x) durch x − a: f (x) = q(x) · (x − a) + r, der Grad von r ist kleiner als 1, also ist r eine Konstante. Wir setzen x = a ein und ﬁnden f (a) = r, also ist r = 0. Das heißt, f (x) ist durch x − a teilbar. 3 Ein Polynom f (x) besitzt genau dann eine mehrfache Nullstelle r, wenn f (r) = 0 ist. ¨ 5 POLYNOME UND TRANSZENDENTE KORPERERWEITERUNGEN 37 Beweis: Sei f (x) = (x − r)k · g(x), k > 1. Dann ist f (x) = k · (x − r)k−1 · g(x) + (x − 1)k · g (x), also ist r eine gemeinsame Nullstelle von f unf f .

9 PRIMZAHLTEST UND FAKTORISIERUNG GANZER ZAHLEN 58 Lehmer hat 1909 eine Tabelle aller Primzahlen unter 10 Millionen als Buch ver¨oﬀentlich, und in einem zweiten Buch sind die kleinsten Primteiler aller Zahlen unter 10 Millionen enthalten, die nicht durch 2, 3, 5 oder 7 teilbar sind. Damit ist eine vollst¨andige Faktorisierung dieser Zahlen m¨oglich. Man sollte aber bedenken, daß ein Computer eine solche Zahl schneller zerlegen kann, als man in einer Tabelle nachschlagen kann. F¨ ur ein Sieb-Programm braucht man nicht viel Speicherplatz: man repr¨asentiert jede Zahl durch ein Bit (die i-te Zahl durch das i-te Bit), setzt alle Bits auf 0, geht f¨ ur alle relevanten Primzahlen p in per Schritten u ¨ber die Bits und setzt Einsen.