By Martin Möller

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Recent Developments in Quantum Affine Algebras and Related Topics: Representations of Affine and Quantum Affine Algebras and Their Applications, North ... May 21-24, 1998

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Beweis : Für M = ∅ ist dies obenstehende Konvention und für M = ∅ müssen wir noch k Eigenschaft ii) des Untervektorraumkriteriums nachprüfen. Sind x = i=1 λi ai , ai ∈ M ℓ und y = i=1 µi bi , bi ∈ M . Linearkombination von Elementen aus M , so ist auch ℓ k µ i bi λi ai + x+y = i=1 i=1 Linearkombination und für alle λ ∈ K ist k λ·x = i=1 (λ · λi )ai wieder eine Linearkombination von Elementen aus M und damit in [M ]. Einige weitere Eigenschaften der linearen Hülle, die direkt aus der Definition folgen, sind in folgendem Lemma festgehalten.

Bezeichne B2 = B \ R und U2 = [B2 ]. Dann ist U1 ⊕ U2 eine direkte Summe, denn R ∪ B2 = B ist linear unabhängig. Zum Beweis von iv) nehmen wir an, B sei eine Basis mit n Elementen. 23 sind n + 1 Linearkombinationen aus diesen Elementen stets linear abhängig. Also hat jede Basis höchstens n Elemente. Gäbe es eine Basis B2 mit n2 < n Elementen, so folgt mit der gleichen Überlegung, dass B linear abhängig sein müßte. Seite 38 Unser nächstes Ziel ist eine Dimensionsformel, die die Dimensionen von Schnitten und Summen von Untervektorräumen in Verbindung bringt.

Vp−1 ] und aus der Annahme folgt die Behauptung. Andernfalls können wie nach Vertauschen annehmen, dass ap+1,p = 0 ist. Dann sind die p Vektoren wj = wj − ajp ap+1,p · wp+1 für j = 1, . . , p allesamt in [v1 , . . , vp−1 ]. Nach Induktion gibt es also eine Linearkombination     p p p ajp · λj  · wp+1 , λj wj  −  λj wj =  0= ap+1,p j=1 j=1 j=1 wobei nicht alle λj Null sind. Dies ist die geforderte nichttriviale Linearkombination von {w1 , . . , wp+1 }. Seite 35 5 Basen und Basiswechsel In diesem Abschnitt sei V stets ein K-Vektorraum.

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